MIT18.06 Linear Algebra (1-3)

矩阵乘法的性质

顺序不能改变，可以任意添加括号

$$(AB)C=A(BC)$$

矩阵乘法的定义

从单个元素

$$C_{ij}=\sum_{k}A_{ik}B_{kj}$$

从列

A * col 1 of B = col 1 of C
cols of B 对 cols of A的线性组合

从行

row 1 of A * B = row 1 of C

列x行

$$\begin{bmatrix}  a&b \\  c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  e & f & g \\  h & i & j\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}  a \\  c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  e & f & g\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  b \\  d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  h & i & j\end{bmatrix}=C$$

矩阵代替元素

$$\begin{bmatrix}   \begin{array}{c | c}   A_1 & A_2 \\ \hline    A_3 & A_4   \end{array} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}   \begin{array}{c | c}   B_1 & B_2 \\ \hline    B_3 & B_4   \end{array} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}   \begin{array}{c | c}   C_1 & C_2 \\ \hline    C_3 & C_4   \end{array} \end{bmatrix} \\C_1=A_1B_1+A_2B_3$$

矩阵的逆（方阵）

性质

$$A^{-1}A=I\text{(单位矩阵)}\\AA^{-1}=I$$

即 左逆=右逆 （方阵）

矩阵的逆存在时，称矩阵为可逆（invertible）或 非奇异的（non-singular）

不可逆的矩阵：

e.g.

$$A=\begin{bmatrix}  1 & 3 \\  2 & 6\end{bmatrix}$$

$\begin{bmatrix}  1 & 3 \end{bmatrix} $与$ \begin{bmatrix} 2 & 6\end{bmatrix} $共线，所以$ \begin{bmatrix}  1 & 3 \end{bmatrix} $与$ \begin{bmatrix} 2 & 6\end{bmatrix} $的线性组合无法得到$ \begin{bmatrix} 1 & 0\end{bmatrix} $或$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}$

$$⁍$$

$$proof.\;if \exists A^{-1}: \\(A^{-1}A)x=Ix=x \\A^{-1}(Ax)=A^{-1}0=0 \\ \Rightarrow x=0$$

求解逆矩阵：Gauss- Jordan消元法

e.g.

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7\end{bmatrix} , A^{-1} = ?$$

$$\begin{align} &\begin{array}{c} \begin{bmatrix} \begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 1 & 0 \\2 & 7 & 0 & 1\end{array}\end{bmatrix} \\A\;\;\;I\end{array}\\\to &\begin{array}{c} \begin{bmatrix} \begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1 \\0 & 1 & -2 & 1\end{array}\end{bmatrix}\end{array} \\\to &\begin{array}{c} \begin{bmatrix} \begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 7 & -3 \\0 & 1 & -2 & 1\end{array}\end{bmatrix}\\I \;\;\;\;A^{-1}\end{array}\end{align}$$

$$A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -3\\ -2 & 1\end{bmatrix}$$

$$proof. \\ EA=I\Rightarrow E=A^{-1} \\ IE=E=A^{-1}$$

一般Gauss消元

$$\begin{align} &\begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 12& 1 & 2 \\ 3 & 8 & 1 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{array} \end{bmatrix} \\ \to & \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 4 & -1 & 2 \end{array} \end{bmatrix} \\ \to & \begin{array}{c} \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc|c} \color{red}{1} & 2 & 1 & 2 \\ 0 & \color{red}{2} & -2 & 6 \\ 0 & 0 & \color{red}{5} & -10 \end{array} \end{bmatrix} \\ \color{red}{\text{主元(pivot)}} \\ \text{上三角(upper triangle)矩阵} \end{array} \end{align}$$

进行的初等变换等价于左乘一个消元矩阵 $E$ .

e.g.

$$E=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

$EA $: substract 3 * row 1 of$ A $from row 2 of$ A$.