一道极限题

$ $\lim\limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^h-1}{h} =1$ $

引理

$ $\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ $

$ $proof. \; \lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\ln(x+1)}$ $

$$\begin{align} where \; \lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln(x+1)}{x} &= \lim\limits_{x \to 0}\ln(x+1)^{\frac{1}{x}}\\ &= \ln\left (\lim\limits_{x \to 0}(x+1)^{\frac{1}{x}}\right) \\ &= \ln e \\ &= 1 \end{align}$$

证明

$$\begin{align} \lim\limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^h-1}{h} &= \lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{h\ln(x+h)}-1}{h} \\ &=\lim \limits _{h \to 0}\frac{e^{h \ln(x+h)}-1}{h\ln(x+h)} \lim\limits_{h \to 0}\ln(x+h) \\ &=\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \ln x \\ &=\ln x \end{align}$$

其他

若求 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{x^h-1}{h}$ ，则直接使用导数定义求，答案相同。